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\title{\vspace{-4cm}\textbf{河北师范大学数学分析真题}}
\author{陈佳颖}
\date{\today}
\linespread{1.5}
\everymath{\displaystyle}
\definecolor{shadecolor}{RGB}{241, 241, 255}
\newcounter{problemname}
\def\d{\mathrm{d}}
\newenvironment{problem}{\begin{shaded}\stepcounter{problemname}\noindent\textbf{题目\arabic{problemname}. }}{\end{shaded}}
\newenvironment{solution}{\par\noindent\textbf{解答. }}{\par}
\newenvironment{note}{\par\noindent\textbf{题目\arabic{problemname}的注记. }}{\par}
\pagestyle{plain}
\setlength{\parindent}{0pt}
\begin{document}
\date{}
\section*{2013年数学分析}
\begin{problem}计算下列各题[本题满分30分，每小题10分]\\
1、求极限$\lim_{x\to0}\frac{e^{x}-\sin x-1}{1-\sqrt{1-x^{2}}}$\\
2、计算积分$I=\int_0^{2\pi}\frac{d\theta}{2+\cos\theta}.$\\
3、计算$I=\iint_{\sum}(8y+1)xdydz+2(1-y^{2})dzdx-4yzdxdy$  其中$\sum$是曲面$y-1=x^{2}+z^{2}(1\leq y\leq3)$的外侧.
\end{problem}

\begin{problem}[本题满分10分]\\
1、设$\lim_{x\to0}f(x^{3})=A$,证明：$\lim_{x\to0}f(x){=}A$.\\
2、设$\lim_{x\to0}f(x^{4})=A$,据理说明是否成立$\lim_{x\to0}f(x){=}A$？
\end{problem}

\begin{problem}[本题满分10分]\\
设函数$f(x)$在$(a,b)$内连续，且$f(a+0)=f(b-0)=+\infty$,证明：$f(x)$在$(a,b)$内能取到最小值.
\end{problem}

\begin{problem}[本题满分10分]\\
设$f(x)$是定义在$R$上的函数，并且对任意的$x_{1},x_{2}\in{R}$，都有$f(x_{1}+x_{2})=f(x_{1})f(x_{2})$,若$f^{\prime}(0)=1$,证明对任意的$x\in{R}$,都有$f^{\prime}(x)=f(x)$.
\end{problem}

\begin{problem}[本题满分15分]\\
证明对任意自然数$n$,方程
$$
x^{n}+.x^{n-1}+\cdots+x^{2}+x=1
$$
在区间$[0,1]$内总有唯一的实根$x_{n}$，并求$\lim_{n\to\infty}x_n$.
\end{problem}

\begin{problem}[本题满分15分]\\
设$S$为有界数集，证明：若$\inf S=a\notin S$,则存在严格递减数列$\{x_{n}\}\subset S$,使得$\lim_{n\to\infty}x_n={a}$.
\end{problem}

\begin{problem}[本题满分15分]\\
设${a_{1}=}\sqrt{2} .\quad a_{n+1}=\frac{1}{2}\left(a_{n}+\frac{1}{a_{n}}\right)(n=1,2,\cdots)$.证明\\
1、极限$\lim_{n\to\infty}a_n$存在.\\
2、级数$\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{a_{n}}{a_{n+1}}-1\right)$收敛.
\end{problem}

\begin{problem}[本题满分15分]\\
设函数$f$在$[a,+\infty)$有连续的导函数，且广义积分$\int_{a}^{+\infty}f(x)dx$和$\int_{u}^{+\infty}f^{\prime}(x)dx$都收敛，证明$\lim_{x\to\infty}f(x)=0$.
\end{problem}

\begin{problem}[本题满分15分]\\
已知$f(x,y)\doteq\begin{cases}\frac{x\dot{y}}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}},&\text{若}(x,y)\neq(0,0)\\0,&\text{若}(x,y)=(0,0)\end{cases}$,证明$f(x,y)$在$(0,0)$连续，但不可微.
\end{problem}

\begin{problem}[本题满分15分]\\
证明函数$f(x)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sin nx}{n^{2}+1}$在$(0,2\pi)$连续，且有连续的导数
\end{problem}
\end{document}




